Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于点A，顶点为点P．

（1）直接写出抛物线的对称轴是_______，用含a的代数式表示顶点P的坐标_______；

（2）把抛物线绕点M（m，0）旋转得到抛物线（其中m>0），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．

①当m=1时，求线段AB的长；

②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由；

③当四边形APBQ为矩形时，请求出m与a之间的数量关系，并直接写出当a=3时矩形APBQ的面积．

Answer 1

【答案】（1）直线x=-1，（-1，-a）（2）①6；②a 取或时，△ABP为等腰三角形；③；30.

【解析】（1）直线x=-1，（-1，-a）；……………………2分

（2）①依题意得MA=MB，当=0时， ， ，

∴AO=2，AM=2+m，∴AB=2MA=2m+4=6；…………3分

②作PH⊥AO，∴H（-1，0），AH=1，BH=2m+3=5，

，同理

当AB=AP时， ，解得： （负值已舍去）；

当AB=BP时， ，解得： （负值已舍去）；

当AP=BP时， ，不成立，

即当a 取或时，△ABP为等腰三角形；

③∵点A与点B，点P与点Q均关于M点成中心对称，

故四边形APBQ为平行四边形，

当时，四边形APBQ为矩形，………………7分

此时△APH∽△PBH， ，

即， ， ，

当a=3时， ，S= =30