Question

如图，按照下面步骤折叠三角形纸片ABC：先过点A沿AF折叠，使点B、C仍落在边BC上；然后打开再沿DE对折，使点A与点F重合．有下面四个结论：
①DE=BC；②△BDF是等腰三角形；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A．
其中一定正确的有________（写上所有正确结论的序号）

Answer 1

①②④
分析：利用折叠的性质，易证DE∥BC，进而得出△BDF是等腰三角形，继而可证得DE是△ABC的中位线，由三角形的内角和定理，可求得∠BDF+∠CEF=2∠A．
解答：证明：∵先过点A沿AF折叠，使点B、C仍落在边BC上；
∴AF⊥BC，DE∥BC，
∵再沿DE对折，使点A与点F重合，
∴DE平分AF，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，
∴①DE=BC正确；
∵DE是△ABC的中位线，
∴AD=BD，
∵AD=DF，
∴BD=DF，
∴△BDF是等腰三角形，
故②△BDF是等腰三角形正确；
∵AD=DF，AE=EF，
但是AD不一定等于AE，
∴不能证得四边形ADFE是菱形，
故③四边形ADFE是菱形错误；
∵由以上可得出：BD=DF，EF=EC，
∴∠B=∠BFD，∠C=∠CFE，
又∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B+∠BFD+∠BDF=180°，∠C+∠CFE+∠CEF=180°，
∴∠BDF+∠FEC=2∠A，
故④∠BDF+∠FEC=2∠A正确．
综上所述：①②④正确．
故答案为：①②④．
点评：此题考查了折叠的性质、三角形中位线的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．