Question

如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是（　　）
①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．

解答：解：
（1）△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD=120°，
在△BCD和△ACE中
∵

AC=BC ∠BCD=∠ACE CD=CE

，
∴△BCD≌△ACE
∴AE=BD，故结论①正确；
（2）∵△BCD≌△ECA，
∴∠GAC=∠FBC，
又∵∠ACG=∠BCF=60°，AC=BC
∴△ACG≌△BCF，
∴AG=BF，故结论②正确；
（3）∠DCE=∠ABC=60°，∴DC∥AB，∴

DF

BF

=

DC

AB

，
∵∠ACB=∠DEC=60°，∴DE∥AC，∴

DG

CG

=

DE

AC

=

DC

AB

，
∴

DF

BF

=

DG

CG

，∴FG∥BE，故结论③正确；
（4）
过C作CN⊥AE于N，CZ⊥BD于Z，
则∠CNE=∠CZD=90°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CDZ=∠CEN，
在△CDZ和△CEN中
∵

∠CZD=∠CNE ∠CDZ=∠CEN CD=CE

，
∴△CDZ≌△CEN，
∴CZ=CN，
∵CN⊥AE，CZ⊥BD，
∴∠BOC=∠EOC，故结论④正确．
综上所述，四个结论均正确，故本题选D．

点评：本题综合考查了全等、圆、相似、特殊三角形等重要几何知识点，有一定难度，需要学生将相关知识点融会贯通，综合运用．