Question

如图，△ABC是等边三角形，过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D，连接AD，过点C作∠BCE=∠BAD，交AB的延长线于点E．
（1）求证：BD=BE；
（2）若CD=4，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）证明BD=BE，就是证明三角形ABD和CBE全等，这两个三角形中已知的条件有：BC=AB，∠BCE=∠BAD，只要再得出一组对应角相等即可得出全等的结论，根据BD是∠CBE的平分线，那么∠CBD=∠DBE=（180-60）÷2=60°，因此∠ABD=60+60=120°=∠CBE，那么这两个三角形全等的条件就都凑齐了（ASA），因此便可得出BD=BE；
（2）可通过构建全等三角形将相等的线段进行转换，过D作DF⊥AE于F，那么直角三角形BCD和BFD中，∠CBD=∠FBD，BD=BD，因此两三角形就全等，要求AD的长在直角三角形ADF中，有了DF，AB的长，只要求出BF的长即可得出AD的值，那么关键就是求BF的长．

解答：证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∴∠5=60°．
又∵∠5+∠CBE=180°，
∴∠CBE=120°．
又∵BD平分∠CBE，
∴∠3=∠4=

1

2

∠CBE=60°．
∴∠5+∠3=∠4+∠3=120°．
即∴∠ABD=∠CBE．
∵在△ABD和△CBE中，

∠1=∠2 AB=BC ∠ABD=∠CBE

，
∴△ABD≌△CBE（ASA）．
∴BD=BE．

（2）过D作DF⊥AE于F，
∴∠DFB=∠DCB=90°，
又∵∠CBD=∠FBD，BD=BD，
∴△CBD≌△FBD（AAS）．
∴CB=BF，DF=CD=4．
∵∠3=60°，∠BCD=90°，
∴∠CDB=30°，
∴设BC=x，则BD=2x，
则4²+x²=（2x）²，
解得：x=

4 3

3

，
∵BD=BE，
∴BD=

8 3

3

在直角三角形BCD中，∵∠CBD=90°，
∴BC=

4 3

3

，
∴BF=BC=

4 3

3

．
∵AB=BC，
∴AF=AB+BF=

4 3

3

+

4 3

3

=

8 3

3

．
直角三角形ADF中，AF=

8 3

3

，DF=4．
∴根据勾股定理可得出AD=

4 21

3

．

点评：本题主要考查了全等三角形的性质和判定，利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类题的常用方法．