Question

如图，点M是反比例函数y=

5

x

（x＞0）图象上的一个动点，过点M作x的平行线交反比例函数y=-

5

x

（x＜0）图象于点N．
（1）若点M的坐标为（1，5），则点N的坐标为

（-1，5）

；
（2）若点P是x上的任意一点，则△PMN的面积是否发生变化？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）M与N关于y轴对称，利用对称点的坐标的关系即可求解；
（2）点M的坐标为（a，

5

a

），即可求得N的坐标，则MN的长度可以利用a表示，M点的纵坐标的值就是MN边上的高，然后利用三角形的面积公式即可表示出△MNP的面积，从而判断面积是否与a的值有关．从而判断△PMN的面积是否发生变化．

解答：解：（1）点N的坐标为（-1，5）； 

（2）△PMN的面积不会发生变化．理由是：
设点M的坐标为（a，

5

a

），
当y=

5

a

时，-

5

x

=

5

a

，
解得x=-a，
即点N的坐标为（-a，

5

a

），
∴MN=a-（-a）=2a，
∴S_△PMN=

1

2

MN•h=

1

2

×2a×

5

a

=5．
∴△PMN的面积不会发生变化．
第（2）小题另解的思路：（2）△PMN的面积不会发生变化．
理由是：如右图，过点N作NA∥MP，NB⊥x轴，MC⊥x轴，
易证得：四边形NAPM是平行四边形，
四边形NBCM是矩形．
∵点M、N分别在反比例函数y=

5

x

与y=-

5

x

的图象上，
∴S_矩形NBCM=2×5=10，
∴S_△PMN=

1

2

S_{四边形NAPM}=

1

2

S_矩形NBCM=5，
∴△PMN的面积不会发生变化．

点评：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．