Question

如图，已知抛物线y＝x²＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为
（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1.

【小题1】（1）填空：点C的坐标是_       _，b＝_     _；
【小题2】（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
【小题3】（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【小题1】（1）（0，－3），b＝－.
【小题2】（2）由（1），得y＝x²－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．
∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，
∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．
∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．
∴OQ＝4t．
①当H在Q、B之间时，
QH＝OH－OQ
＝（4－4t）－4t＝4－8t．··················································· 3分
②当H在O、Q之间时，
QH＝OQ－OH
＝4t－（4－4t）＝8t－4．··················································· 4分
综合①，②得QH＝｜4－8t｜；
【小题3】（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．
①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝．········································································· 5分
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t²＋2t－1＝0．
∴t₁＝－1，t₂＝－－1（舍去）．······································· 6分
②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝．········································································· 7分
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t²－2t＋1＝0．
∴t₁＝t₂＝1（舍去）．····························································· 8分
综上所述，存在的值，t₁＝－1，t₂＝，t₃＝．解析:
略