Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，CE是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠ACD=∠BCE；
（2）若AC=3cm，BC=6cm，sin∠ABC=

1

3

，求⊙O的面积．

Answer 1

分析：（1）连接BE，因为CE是直径，所以△CEB是直角三角形，∠A与∠E相等，因为是同弧所对的圆周角，所以等角的余角相等；
（2）在Rt△BCD中，先利用∠ABC的正弦求出CD，再根据∠ACD=∠BCE，它们的余弦值也相等求出CE的长，面积即可求出．

解答：（1）证明：连接BE，则∠A=∠E，
∵CE是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴∠CBE=∠CDA=90°．
∴∠ACD=∠BCE．

（2）解：∵sin∠ABC=

CD

BC

=

1

3

，BC=6cm，
∴CD=2cm．
又∵cos∠ACD=

CD

AC

=

2

3

，
∴cos∠BCE=

BC

CE

=

2

3

．
∴CE=

3

2

BC=9cm．
所以S_⊙O=π(

9

2

)²=20.25πcm²．

点评：本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．
利用好角的三角函数是解题的关键．