Question

【题目】如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC．．

（1）请求出抛物线y=ax2+bx+3的解析式；

（2）如图2，点P、点Q同时从点A出发，点P沿AC以每秒个单位长度的速度，由点A向点C运动；点Q沿AB以每秒2个单位长度的速度，由点A向点B运动；当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒，连接PQ．

①求证：PQ⊥AC；

②过点Q作QE⊥x轴，交抛物线于点E，连接PE，当PQ=PE时，请求出t的值；

③在y轴上是否存在点D，使以点A、P、Q、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出D点坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）①见解析；②t的值为；③D（0，1）．

【解析】

(1)用待定系数法求函数解析式；（2）①证明△OAC为等腰直角三角形，再证△APQ∽△AOC，得∠APQ=∠AOC=90°，所以PQ⊥AC；②作PF⊥x轴于F，PH⊥EQ于H，求出E（2t﹣3，2t），把E（2t﹣3，2t）代入y=﹣x2﹣2x+3得﹣（2t﹣3）2﹣2（2t﹣3）+3=3，解方程可得；③解：存在．由四边形AQDP为平行四边形，得DQ=AP=t，∠DQO=∠PAQ=45°，而OQ=OD=3﹣2t，可得t=（3﹣2t），解得t=1，可得D的坐标.

（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1），

即y=ax2+2ax﹣3a，

∴﹣3a=3，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3；

（2）①证明：当x=0时，y=﹣x2﹣2x+3=3，则C（0，3），

∴△OAC为等腰直角三角形，

∴AC=3，

∵AP=t，AQ=2t，

∴=t， ==t，

∴=，

而∠PAQ=∠OAC，

∴△APQ∽△AOC，

∴∠APQ=∠AOC=90°，

∴PQ⊥AC；

②证明：作PF⊥x轴于F，PH⊥EQ于H，如图2，则PF=AF=AP=t=t，

当Q点OA上，OQ=3﹣2t，则Q（2t﹣3，0），H（2t﹣3，t），

当Q点在OB上，OQ=2t﹣3，则Q（2t﹣3，0），H（2t﹣3，t），

∵PE=PQ，

∴EH=QH=t，

∴E（2t﹣3，2t），

把E（2t﹣3，2t）代入y=﹣x2﹣2x+3得﹣（2t﹣3）2﹣2（2t﹣3）+3=3，解得t1=0（舍去），t2=，

∴t的值为；

③解：存在．

如图3，∵四边形AQDP为平行四边形，

∴DQ=AP=t，∠DQO=∠PAQ=45°，

而OQ=OD=3﹣2t，

∴t=（3﹣2t），解得t=1，

∴D（0，1）．