题目内容
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE． ’
（1）过点E作直线EF交AC边于点F，当EF=AF时，求证：直线EF为半圆O的切线；
（2）当BD=3时，求线段DE的长．
证明：（1）连接OE，
∵EF=AF,
∴∠A=∠AEF．
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠OBE
∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°．
∴∠AEF+∠OEB=90°．
∴∠FEO=90°．
∵OE是⊙O半径，
∴EF是⊙O的切线．
解：(2) ∵∠C=90°,BC=12,AC=9,
∴ AB=15．
∵BD是直径，∴∠DEB=90°．
∴∠DEB=∠C．
∵∠B=∠B,
∴△DEB∽△BCA． …………………………………………………………… 4′
∴
．
∴
．
．……………………………………………………… 5′
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