Question

（2013•滨湖区一模）如图，菱形OABC中，点A在x轴上，顶点C的坐标为（1，

3

），动点D、E分别在射线OC、OB上，则CE+DE+DB的最小值是

4

．

Answer 1

分析：连接AC，作B关于直线OC的对称点E′，连接AE′，交OC于D，交OB于E，此时CE+DE+BD的值最小，求出CE+DE+BD=AE′，求出∠E′BA=90°，BF=EF′=

3

，AB=2，根据勾股定理求出即可．

解答：解：连接AC，作B关于直线OC的对称点E′，连接AE′，交OC于D，交OB于E，此时CE+DE+BD的值最小，
∵四边形OCBA是菱形，
∴AC⊥OB，AO=OC，
即A和C关于OB对称，
∴CE=AE，
∴DE+CE=DE+AE=AD，
∵B和E′关于OC对称，
∴DE′=DB，
∴CE+DE+DB=AD+DE′=AE′，
过C作CN⊥OA于N，
∵C（1，

3

），
∴ON=1，CN=

3

，
由勾股定理得：OC=2
即AB=BC=OA=OC=2，
∴∠CON=60°，
∴∠CBA=∠COA=60°，
∵四边形COAB是菱形，
∴BC∥OA，
∴∠DCB=∠COA=60°，
∵B和E′关于OC对称，
∴∠BFC=90°，
∴∠E′BC=90°-60°=30°，
∴∠E′BA=60°+30°=90°，CF=

1

2

BC=1，
由勾股定理得：BF=

3

=E′F，
在Rt△EBA中，由勾股定理得：AE′=

22+( 3 + 3 )2

=4，
即CE+DE+DB的最小值是4．
故答案为：4．

点评：本题考查了菱形性质，勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，关键是找出符合条件的点D和E的位置．