Question

如图，在ΔABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，∠ACB以及外角∠ACD的平分线分别交MN于点E、F。

1.求证OE=OF

2.当点O运动到AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形？回答并证明你的结论。

 

Answer 1

 

1.见解析

2.见解析

解析:证明（1）∵CE平分∠ACB

            ∴∠ACE=∠BCE………………………… 1分

            ∵MN//BC

            ∴∠OEC=∠BCE………………………… 2分

∴∠ACE=∠OEC

∴OE=OC ………………………… 3分

同理OF=OC………………………… 4分

∴OE=OF ………………………… 5分

（2）当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形。… 6分

证明：∵O为AC中点

      ∴OA=OC

      又OE=OF

∴四边形AECF为平行四边形………………………8分

∵OE=OC

∴2OE=2OC

即AC=EF  …………………………  10分

∴  平行四边形AECF为矩形………………………… 11分

或者：   ∵CE平分∠ACB    CF平分∠ACD

         ∴∠ACE=∠ACB   ∠ACF=∠ACD

         ∴∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACD）=×180^o=90^o

       ∴    平行四边形AECF为矩形。