Question

（本题满分9分） 已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点,交BD于点G，交AB于点F．

（1）求证：AC与⊙O相切；

（2）当BD=2，sinC=时，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）见解析；（2）r=

【解析】

试题分析：（1）连接OE，只需证明OE⊥AC即可；（2）在△BCD中，根据BD=2，sinC=可求BC=AB=4，设⊙O 的半径为r，则AO=4-r，在Rt△AOE中，根据sinA=sinC=，可求r的值.

试题解析：．【解析】
（1）证明：连接OE，

∵AB=BC且D是BC中点

∴BD⊥AC

∵BE平分∠ABD

∴∠ABE=∠DBE

∵OB=OE

∴∠OBE=∠OEB

∴∠OEB=∠DBE

∴OE∥BD

∴OE⊥AC

∴AC与⊙O相切

（2）∵BD=2，sinC=，BD⊥AC

∴BC=4

∴AB=4

设⊙O 的半径为r，则AO=4-r

∵AB=BC

∴∠C=∠A

∴sinA=sinC=

∵AC与⊙O相切于点E，

∴OE⊥AC

∴sinA===

∴r=

考点：1.切线的判定；2.三角函数的应用.