Question

（2012•北塘区二模）如图，?AOBC的对角线交于点E，反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过A、E两点，若?AOBC的面积为9，则k=

3

．

Answer 1

分析：设出点A的横坐标为x，根据点A在双曲线y=

k

x

（k＞0）上，表示出点A的纵坐标，从而表示出点A的坐标，再根据点B在x轴上设出点B的坐标为（a，0），然后过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如图，根据平行四边形的性质对角线互相平分得到点E为AB的中点，又EF∥AD，得到EF为△ABD的中位线，可得EF为AD的一半，而AD为A的纵坐标，可得出EF的长，由OB-OD可得BD的长，根据F为BD的中点，得到FB的长，由OB-FB可得出OF的长，由E在第一象限，由EF和OF的长表示出E的坐标，代入反比例解析式中，得到a=3x，再由BO与AD的积为平行四边形的面积，表示出平行四边形的面积，根据平行四边形AOBC的面积为9，列出等式，将a=3x代入可得出k的值．

解答：解：设A（x，

k

x

），B（a，0），过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如图，
∵四边形AOBC是平行四边形，
∴AE=EB，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=

1

2

AD=

k

2x

，DF=

1

2

（a-x），OF=OD+DF=

a+x

2

，
∴E（

a+x

2

，

k

2x

），
∵E在双曲线y=

k

x

上，
∴

a+x

2

•

k

2x

=k，
∴a=3x，
∵S_?AOBC=OB•AD=9，
∴a•

k

x

=3x•

k

x

=3k=9，
解得：k=3．
故答案为：3．

点评：此题属于反比例函数的综合题，考查了平行线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合性较强的题，本题的突破点是作出辅助线，建立点坐标与线段长度的联系．