Question

如图，下列立体图形是由若干个棱长是1的小立方体按一定的规律在地面上摆成的，若将露出的表面
都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．
（1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体有______个；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体有______个．
（2）设第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数为M，请用含有字母n的代数式表示M；
（3）求出第10个几何体中没有涂色的小立方体的个数．

Answer 1

解：（1）观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4=20个，
故答案为：4，20；

（2）观察图形可知：图①中，两面涂色的小立方体共有4个；
图②中，两面涂色的小立方体共有12个；
图③中，两面涂色的小立方体共有20个．
4，12，20都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5的形式，
因此，第n个图中两面涂色的小立方体共有4（2n-1）=8n-4，
∴M=8n-4 （n为正整数）；

（3）第10个几何体中没有涂色的小正方体有9×9×10=810个小正方体．
分析：（1）第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4=20个；
（2）根据所给图形中只有2个面涂色的小立方体的块数得到第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数与4的倍数的关系即可；
（3）总数去掉最外层即可得到没有涂色的正方体的个数．
点评：考查图形的变化规律；得到所求块数与4的倍数的关系是解决本题的关键．