Question

已知抛物线的顶点是（1，-4），在x轴上截出的线段长为4，求抛物线的解析式．

Answer 1

解：根据题意设二次函数解析式为y=a（x-1）²-4=ax²-2ax+a-4，
令y=0，得到ax²-2ax+a-4=0，设两根为x₁，x₂（x₁＜x₂），
利用根与系数的关系得：x₁+x₂=2，x₁x₂=，
∵抛物线在x轴上截出的线段长为4，
∴x₂-x₁=4，
将上式两边平方得：（x₂-x₁）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，
∴4-4×=16，
解得：a=1，
则所求抛物线解析式为y=x²-2x-3．
分析：根据抛物线的顶点坐标设出顶点形式y=a（x-1）²-4，令y=0得到关于x的一元二次方程，设两根为x₁，x₂（x₁＜x₂），利用根与系数的关系求出x₁+x₂与x₁x₂，表示出抛物线与x轴截出线段，使其值为4求出a的值，即可确定出抛物线解析式．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．