Question

当k为何值时，关于x的方程x²-（2k-1）x=-k²+2k+3，
（1）有两个不相等实数根？
（2）有两个相等实数根？
（3）没有实数根？

Answer 1

分析：先把方程化为一般式得到x²-（2k-1）x+k²-2k-3=0．
（1）根据判别式的意义得到△=（2k-1）²-4（k²-2k-3）＞0，然后解不等式；
（2）根据判别式的意义得到△=（2k-1）²-4（k²-2k-3）=0，然后解方程；
（3）根据判别式的意义得到△=（2k-1）²-4（k²-2k-3）＜0，然后解不等式．

解答：解：方程变形为x²-（2k-1）x+k²-2k-3=0，
（1）根据题意得△=（2k-1）²-4（k²-2k-3）＞0，
解得k＞-

13

4

，
所以当k＞-

13

4

时，方程有两个不相等实数根；

（2）根据题意得△=（2k-1）²-4（k²-2k-3）=0，
解得k=-

13

4

，
所以当k=-

13

4

时，方程有两个相等实数根；

（3）根据题意得△=（2k-1）²-4（k²-2k-3）＜0，
解得k＜-

13

4

，
所以当k＜-

13

4

时，方程没有实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．