Question

如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF
（1）如图①，点E在BC上，则线段PC、PF的数量关系为

 

，位置关系为

 

（不证明）．
（2）如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a（O＜a＜45°），则线段PC，PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．
（3）如图③，△AEF为等腰直角三角形，且∠AEF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是

 

．

Answer 1

分析：（1）由∠BFE=90°，点P为DE的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF=PD=PE，PC=PD=PE，则PC=PF，又∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，得到∠FPC=2∠FDC=90°，所以PC=PF，PC⊥PF．
（2）延长FP至G使PG=PF，连DG，GC，FC，延长EF交BD于N，易得△PDG≌△PEF，得DG=EF=BF，得∠PEF=∠PDG，EN∥DG，可得
∠FBC=∠GDC，证得△BFC≌△DGC，则FC=CG，∠BCF=∠DCG．得∠FCG=∠BCD=90°．即有PC⊥PF，PF=PC．
（3）设AE=2x，则PE=PF=x，AP=

5

x，PB=AB-

5

x，由Rt△AEP∽Rt△FBP，得到

x

AB- 5 x

=

5 x

x

，解得x=

5

6

．得到AE=2x=

5

3

AB．

解答：解：（1）∵∠BFE=90°，点P为DE的中点
∴PF=PD=PE，
同理可得PC=PD=PE，
∴PC=PF，
又∵∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，
∴∠FPC=2∠FDC=90°，
所以PC=PF，PC⊥PF．

（2）PC⊥PF，PF=PC．理由如下：
延长FP至G使PG=PF，连DG，GC，FC，延长EF交BD于N，如图，
∵点P为DE的中点，
∴△PDG≌△PEF，
∴DG=EF=BF．
∴∠PEF=∠PDG，
∴EN∥DG，
∴∠BNE=∠BDG=45°+∠CDG=90°-∠NBF=90°-（45°-∠FBC）
∴∠FBC=∠GDC，
∴△BFC≌△DGC，
∴FC=CG，∠BCF=∠DCG．
∴∠FCG=∠BCD=90°．
∴△FCG为等腰直角三角形，
∵PF=PG，
∴PC⊥PF，PF=PC．

（3）设AE=2x，则PE=PF=x，AP=

5

x，PB=AB-

5

x，
∵Rt△AEP∽Rt△FBP，
∴

x

AB- 5 x

=

5 x

x

，
∴x=

5

6

AB．
∴AE=2x=

5

3

AB．
故答案为PC=PF，PC⊥PF；

5

3

AB．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及三角形相似的性质．