Question

已知△ABC的面积为a，O、D分别是边AC、BC的中点．
（1）画图：在图中将点D绕点O旋转180°得到点E，连接AE、CE．填空：四边形ADCE的面积为

a

；
（2）在（1）的条件下，若F₁是AB的中点，F₂是AF₁的中点，F₃是AF₂的中点，…，F_n是AF_n-1的中点 （n为大于1的整数），则△F₂CE的面积为

5

8

a

；△F_nCE的面积为

2n+1

2n+1

a

．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的判定的平行四边形ADCE，推出AE=CD，AD=CE，根据SSS证△ADC和△CEA全等，即可求出答案；
（2）设△ABC边AB上的高是h，则

1

2

AB×h=a，求出DE∥AB，推出△EAF₂的边AF₂上的高和△BCF₂上的边BF₂上的高相等，都是

1

2

h，根据△F₂CE的面积为：S_△ABD+S_{四边形ADCE}-S△BCF2-S△AEF2，代入求出即可；求出BF₁=

1

2

AB，AF₁=

1

2

AB，BF₂=

3

4

AB，AF₂=

1

4

AB，BF₃=

7

8

AB，AF₃=

1

8

AB，根据线段的结果推出BF_n=

2n-1

2n

AB，AF_n=

1

2n

AB，根据△F_nCE的面积为S_△ABD+S_{四边形ADCE}-S△BCFn-S△AEFn，代入求出即可．

解答：（1）解：如图：
∵AO=OC，DO=OE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=DC，CE=AD，
在△ADC和△CEA中

AD=CE AC=AC AE=CD

，
∴△ADC≌△CEA，
∴S_△ADC=S_△CEA=

1

2

a，
∴四边形ADCE的面积是

1

2

a+

1

2

a=a，
故答案为：a．
（2）解：过C作CM⊥AB于M，
设△ABC边AB上的高是CM=h，则

1

2

AB×h=a，
∵BD=DC，AO=CO，
∴DE∥AB，
∴△EAF₂的边AF₂上的高和△BAD上的边BF₂上的高相等，都是

1

2

h，
∴△F₂CE的面积为：S_△ABD+S_{四边形ADCE}-S△BCF2-S△AEF2，
=

1

2

a+a-

1

2

×

3

4

AB×h-

1

2

×

1

4

AB×

1

2

h═

5

8

a，
∵BF₁=

1

2

AB，AF₁=

1

2

AB，
BF₂=

3

4

AB，AF₂=

1

4

AB，
BF₃=

7

8

AB，AF₃=

1

8

AB，
…
∴BF_n=

2n-1

2n

AB，AF_n=

1

2n

AB，
∴；△F_nCE的面积为S_△ABD+S_{四边形ADCE}-S△BCFn-S△AEFn，
=

1

2

a+a-

1

2

×

2n-1

2n

AB×h-

1

2

×

1

2n

AB×

1

2

h，
=

1

2

a+a-

2n-1

2n

a-

1

2n+1

a，
=

2n+1

2n+1

a．
故答案为：

5

8

a，

2n+1

2n+1

a．

点评：本题考查了三角形的面积，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的应用，关键是根据线段的结果得出BF_n，AF_n的长，本题有一定的难度，对学生提出了较高的要求，主要培养学生的观察能力和总结规律的能力．