题目内容
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，
BC相切于点D，E．（1）当AC=2时，求⊙O的半径；
（2）设AC=x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式．
分析：（1）连接OD，OE，由△ABC是直角三角形，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，可知OD∥BC，在△ADO中，解得半径．
（2）由题意可知，OD∥BC，∠AOD=∠B，则两角正切值相等，进而列出关系式．
（2）由题意可知，OD∥BC，∠AOD=∠B，则两角正切值相等，进而列出关系式．
解答：
解：（1）连接OE，OD，
在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，
∵AC=2，
∴BC=6；
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形，
tan∠B=tan∠AOD=
=
=
，解得OD=
，
∴圆的半径为
；
（2）∵AC=x，BC=8-x，
在直角三角形ABC中，tanB=
=
，
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形．
tan∠AOD=tanB=
=
=
，
解得y=-
x2+x．
解：（1）连接OE，OD，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，
∵AC=2，
∴BC=6；
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形，
tan∠B=tan∠AOD=
| AD |
| OD |
| 2-OD |
| OD |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∴圆的半径为
| 3 |
| 2 |
（2）∵AC=x，BC=8-x，
在直角三角形ABC中，tanB=
| AC |
| BC |
| x |
| 8-x |
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形．
tan∠AOD=tanB=
| AC |
| BC |
| AD |
| OD |
| x-y |
| y |
解得y=-
| 1 |
| 8 |
点评：本题主要考查切线的性质和解三角形的相关知识点，不是很难．
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