Question

【题目】已知，如图：AB为⊙O直径，D为弧AC中点，DE⊥AB于E，AC交OD于点F，

（1）求证：OD∥BC；

（2）若AB＝10cm，BC＝6cm，求DF的长；

（3）探索DE与AC的数量关系，直接写出结论不用证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）2cm（3）DE＝AC

【解析】

（1）根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ACB=90°，再根据垂径定理，由D为弧AC中点得到OD⊥AC，则∠AFO=90°，于是根据平行线的判定方法即可得到OD∥BC；

（2）先判断OF为△ACB的中位线，则OF=BC=3cm，然后利用DF=OD-OF求解；

（3）由OF为△ACB的中位线得到AF=CF，再证明△ODE≌△OAF，得到DE=AF，由此得到DE=AC．

（1）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∵D为弧AC中点，

∴OD⊥AC，

∴∠AFO＝90°，

∴OD⊥BC；

（2）解：∵OF∥BC，

而OA＝OB，

∴OF为△ACB的中位线，

∴OF＝BC＝3cm，

∴DF＝OD﹣OF＝5cm﹣3cm＝2cm；

（3）解：DE＝AC．