题目内容
如图，直线y=-x+20与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动. 动直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于E、F点. 连结FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
(1) 当t＝1秒时，求梯形OPFE的面积；
(2) t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
(3) 设t的值分别取t1、t2时(t1≠t2)，所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断.
（1）18；（2）t=5时，最大面积是50；（3）相似
【解析】
试题分析：（1）先根据直线的性质求出A、B两点的坐标，再根据点A的移动规律，得到AP的长，从而求出OP的长；又因为EF=BE，用OB的长减去OE的长即可求出EF的长；从而利用梯形面积公式求出梯形OPFE面积；
（2）设OE=t，AP=3t，利用梯形面积公式，将梯形面积转化为关于t的二次函数表达式，求二次函数的最大值即可；
（3）作FD⊥x轴于D，则四边形OEFD为矩形．求出三角形各边的长度表达式，计算出对应边的比值，加上一个夹角相等，即可证得结论．
设梯形OPFE的面积为S．
（1）对于直线y=-x+20，当x=0时，y=20；当y=0时，x=20，
∴A(20，0)，B(0，20)
∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°
当t=1时，OE=1，AP=3，
∴OP=17，EF=BE=19
∴S=
(OP+EF)·OE=18；
(2)OE=t，AP=3t，
∴OP=20-3t，EF=BE=20-t
∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t =-2t2+20t=-2(t-5)2+50.
∴当t=5(在0<t<
范围内)时，S最大值=50；
(3) 作FD⊥x轴于D，则四边形OEFD为矩形
∴FD=OE=t，AF=
FD=t.
又AP=3t.
当t=t1时，AF1=t1，AP1=3t1；
当t=t2时，AF2=t2，AP2=3t2；
∴
，
又∠A=∠A，
∴△AF1P1∽△AF2P2.
考点：本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质
点评：解答本题的关键是熟记求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．
精英口算卡系列答案
13、如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：（1）∠l=∠2；（2）∠3=∠6；（3）∠4+∠7=180°；（4）∠5+∠8=180°，其中能判断a∥b的是（ ）
4、如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为（ ）
如图，直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数
17、如图，直线a∥c，b∥c，直线d与直线a、b、c相交，已知∠1=60°，求∠2、∠3的度数（可在图中用数字表示角）．