题目内容
课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题.
实验与论证
设旋转角
，
,
,
,
所表示的角如图所示.
（1）用含
的式子表示角的度数：＝ , ＝ , ＝ ；
（2）图1—图4中，连接
时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
设正
边形
与正边形
重合（其中
与
重合），现将正边形绕顶点
逆时针旋转
.
（3）设
与上述“,,…”的意义一样，请直接写出的度数；
（4）试猜想在正边形的情况下，是否存在与直线垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由.
.解：（1）
， ， 
.
说明：每写
对一个给1分.
（2）存在.下面就所选图形的不同分别给出证明：
选图1.图1中有直线垂直平分
，证明如下：
图1
方法一：
证明：∵
与
是全等的等边三角形，
∴
，
∴
.
又∵
.
∴ 
.
∴
.∴点H在线段的垂直平分线上.
又∵，∴点
在线段的垂直平分线上
∴直线垂直平分
方法二：
证明：∵与是全等的等边三角形，
∴，
∴.
又
.
∴
∴
.
在
与
中
∵，，
∴≌.∴
∴是等腰三角形
的顶角平分线.
∴直线垂直平分.
选图2.图2中有直线垂直平分
，证明如下：
图2
∵
∴
又∵
，
∴ 
.
∴
.∴点H在线段的垂直平分线上.
又∵，∴点在线段的垂直平分线上
∴直线垂直平分.
说明：（ⅰ）在图2中选用方法二证明的，参照上面的方法二给分；
（ⅱ）选择图3或图4给予证明的，参照上述证明过程评分.
(3)当为奇数时，
，
当为偶数时，
（4）存在.当为奇数时，直线垂直平分
，
当为偶数时，直线垂直平分
.
°）；
°）；
°）；
°）；