Question

课题：两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．
实验与论证：
设旋转角∠A₁A₀B₁=α（α＜∠A₁A₀A₂），θ₃、θ₄、θ₅、θ₆所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示解的度数：θ₃=

 

，θ₄=

 

，θ₅=

 

；
（2）图1-图4中，连接A₀H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A₀H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想：
设正n边形A₀A₁A₂…A_n-1与正n边形A₀B₁B₂…B_n-1重合（其中，A₁与B₁重合），现将正边形A₀B₁B₂…B_n-1绕顶点A₀逆时针旋转α（0°＜α＜

180

n

°）；
（3）设θ_n与上述“θ₃、θ₄、…”的意义一样，请直接写出θ_n的度数；
（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A₀H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由正三角形的性质得α+θ₃=60°，再由正方形的性质得θ₄=45°-（45°-α）=α，最后由正五边形的性质得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在图1中直线A₀H垂直且平分的线段A₂B₁，△A₀A₁A₂≌△A₀B₁B₂，推得A₂H=B₁H，则点H在线段A₂B₁的垂直平分线上；由A₀A₂=A₀B₁，则点A0在线段A₂B₁的垂直平分线上，从而得出直线A₀H垂直且平分的线段A₂B₁
（3）当n为奇数时，θ_n=

180°

n

-α；
当n为偶数时，θ_n=α
（4）多写几个总结规律：
当n为奇数时，直线A₀H垂直平分A

n+1

2

B

n-1

2

，
当n为偶数时，直线A₀H垂直平分A

n

2

B

n

2

解答：解：（1）60°-α，α，36°-α

（2）存在．下面就所选图形的不同分别给出证明：
选图如，图中有直线A₀H垂直平分A₂B₁，证明如下：
方法一：
证明：∵△A₀A₁A₂与△A₀B₁B₂是全等的等边三角形
∴A₀A₂=A₀B₁
∴∠A₀A₂B₁=∠A₀B₁A₂
又∠A₀A₂H=∠A₀B₁H=60°
∴∠HA₂B₁=∠HB₁A₂
∴A₂H=B₁H，∴点H在线段A₂B₁的垂直平分线上
又∵A₀A₂=A₀B₁，∴点A0在线段A₂B₁的垂直平分线上
∴直线A₀H垂直平分A₂B₁
方法二：
证明：∵△A₀A₁A₂与△A₀B₁B₂是全等的等边三角形
∴A₀A₂=A₀B₂
∴∠A₀A₂B₁=∠A₀B₁A₂
又∠A₀A₂H=∠A₀B₁H=60°
∴∠HA₂B₁=∠HB₁A₂
∴A₂H=B₁H，
在△A₀A₂H与△A₀B₁H中
∵A₀A₂=A₀B₁，
HA₂=HB₁，∠A0A₂H=∠A₀B₁H
∴△A₀A₂H≌△A₀B₁H
∴∠A₀A₂H=∠B₁A₂H
∴A₀H是等腰三角形A₀A₂B₁的角平分线，
∴直线A₀H垂直平分A₂B₁选图如，图中有直线A₀H垂直平分A₂B₂，证明如下：
∵A₀B₂=A₀A₂∴∠A₀B₂A₂=∠A₀A₂B₂
又∵∠A₀B₂B₁=∠A₀A₂A₃
∴∠HB₂A₂=∠HA₂B₂
∴HB₂=HA₂
∴点H在线段A₂B₂的垂直平分线上
又∵A₀B₂=A₀A₂，∴点A₀在线段A₂B₂的垂直平分线上
∴直线A₀H垂直平分A₂B₂

（3）当n为奇数时，θ_n=

180°

n

-α；
当n为偶数时，θ_n=α．

（4）存在．
当n为奇数时，直线A₀H垂直平分A

n+1

2

B

n-1

2

，
当n为偶数时，直线A₀H垂直平分A

n

2

B

n

2

点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．