Question

如图①，已知∠ABC＝90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F。

（1）如图②，当BP＝BA时，∠EBF＝           ，猜想∠QFC＝           ；（2分）

（2）如图①，当点P为射线BC上任意一点时，求证∠QFC＝60°；（4分）

（3）已知线段AB＝，设BP＝，点Q到射线BC的距离为，求关于的函数关系式。（4分）

 

Answer 1

解：（1）   30°...............................1分

         　 =  60°..................................1分

       （2）不妨设BP＞, 如图1所示

∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP  

∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP

∴∠BAP=∠EAQ..........................................2分                 

在△ABP和△AEQ中  AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ

∴△ABP≌△AEQ（SAS）

∴∠AEQ=∠ABP=90°...............................3分

∴∠BEF

∴=60°……………............4分

(事实上当BP≤时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）

 　　　　   (3)在图1中，过点F作FG⊥BE于点G

     　　　 ∵△ABE是等边三角形    　　∴BE=AB=，由（1）得30°

              在Rt△BGF中，     ∴BF=EF=2                 .......1分

     　　　 ∵△ABP≌△AEQ       ∴QE=BP=     ∴QF=QE＋EF_{................2分}

   _{过点Q作QH⊥BC，垂足为H，}

在Rt△QHF中，60°，

∴（x＞0）

_{即y关于x的函数关系式是：.......................................................4分}