Question

如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．

（1）求线段DE的长；

（2）设过E的直线与抛物线相交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），试判断当|x₁﹣x₂|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；

（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．

Answer 1

，解得.

∴x₁+x₂=b₁，x₁x₂=b₁﹣3.

∵，

∴当b₁=2时，|x₁﹣x₂|最小值=2.

∵b₁=2时，y=（2﹣b₁）x+b₁=2，∴直线MN∥x轴．

（3）如答图，∵D（1，4），∴tan∠DOF=4.

又∵tan∠α=4，∴∠DOF=∠α.

∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α，∠DAO+∠DPO=∠α，∴∠DPO=∠ADO.

∴△ADP∽△AOD. ∴AD²=AO•AP.

∵AF=2，DF=4，

∴AD²=AF²+DF²=20. ∴OP=19.

∴P₁（19，0），P₂（﹣17，0）．