Question

如图，已知正方形ABCD的边长为a，AC与BD交于点E，过点E作FG∥AB，且分别交AD、BC于点F、G．问：以B为圆心，

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a为半径的圆与直线AC、FG、DC的位置关系如何？

Answer 1

分析：根据正方形性质得出EA=EB=EC=ED，AC⊥BD，∠ABC=∠BCD=90°，求出BG=GC=

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BC=

1

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a，AF=DF=

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a，∠EGB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理求出AE，再根据直线与圆的位置关系判断即可．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴EA=EB=EC=ED，AC⊥BD，∠ABC=∠BCD=90°，
∵FG∥AB，
∴BG=GC=

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2

BC=

1

2

a，AF=DF=

1

2

a，∠EGB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：2AE²=a²，
AE=

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a=BE，
∵BE=

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a，BE⊥AC，∴以B为圆心，

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a为半径的圆与直线AC的位置关系是相切；
∵BG=

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a＜

2

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a，BG⊥FG，
∴以B为圆心，

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a为半径的圆与直线FG的位置关系是相交；
∵BC=a，BC⊥CD，
∴以B为圆心，

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a为半径的圆与直线DC的位置关系是相离．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，正方形性质的应用，注意：已知圆的半径是R，圆心到直线l的距离是d，当r=d时，直线l与圆相切，当r＜d时，直线l与圆相离，当r＞d时，直线l与圆相交．