题目内容
已知：如图①，在
中，
，
，
，点
由
出发沿
方向向点
匀速运动，速度为1cm/s；点
由出发沿
方向向点
匀
速运动，速度为2cm/s；连接
．若设运动的时间为
（
），解答下列问题：
（1）当
为何值时，
？
（2）设
的面积为
（
），求与之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接
，并把
沿
翻折，得到四边形
，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
（1）
；（2）
；（3）不存在；（4）
，
【解析】
试题分析：（1）当PQ∥BC时，可得出三角形APQ和三角形ABC相似，根据相似三角形的对应边成比例即可求得结果；
（2）求三角形APQ的面积就要先确定底边和高的值，底边AQ可以根据Q的速度和时间t表示出来．关键是高，可以用AP和∠A的正弦值来求．AP的长可以用AB-BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ边上的高后，就可以得出x，y的函数关系式．
（3）如果将三角形ABC的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（2）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．
（4）我们可通过构建相似三角形来求解．过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是个矩形，解题思路：通过三角形BPN和三角形ABC相似，得出关于BP，PN，AB，AC的比例关系，即可用t表示出PN的长，也就表示出了MC的长，要想使四边形PQP'C是菱形，PQ=PC，根据等腰三角形三线合一的特点，QM=MC，这样有用t表示出的AQ，QM，MC三条线段和AC的长，就可以根据AC=AQ+QM+MC来求出t的值．求出了t就可以得出QM，CM和PM的长，也就能求出菱形的边长了．
（1）在Rt△ABC中，
，
由题意知：AP=5-t，AQ=2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
，
解得，
所以当时，PQ∥BC；
（2）如图，过点P作PH⊥AC于H，
∵△APH∽△ABC，
，
，
；
（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ，
∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），解得t=1，
若PQ把△ABC面积平分，则
，即
，
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
（4）过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
若四边形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC，
，
，
解得
，
解得
，
当
时，四边形PQP'C是菱形．
此时
，
，
在Rt△PMC中，
，
∴菱形PQP′C边长为
考点：本题考查的是相似三角形的综合应用
点评：解答本题的关键是正确作出辅助线，找到相似的三角形，灵活运用相似三角形的对应边成比例的性质。
中，
是
边上的高，
是
平分线. 
，
，
的度数；
的度数．