Question

5．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=33°，求∠BDC的度数．

Answer 1

分析 （1）由条件AB=CB，∠ABC=∠CBD=90°，根据SAS就可以得出结论；
（2）由条件可以求出∠AEB的度数，由全等三角形的性质就可以求出结论．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE=∠CBD=90°，
在△ABE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∵∠CAE=33°，
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=12°．  
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=12°，
∴∠BDC=78°    
答：∠BDC的度数为78°．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形内角和定理的运用，解答时证明三角形全是关键．