Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M作MN//BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，设AM=x

（1）用含x的代数式表示△AMN的面积S；

（2）M在AB上运动，当⊙O与BC相切时（如图①），求x的值；

（3）M在AB上运动，当⊙O与BC相交时（如图②），在⊙O上取一点P，使PM//AC，连接PN，PM交BC于E，PN交BC于点F，设梯形MNFE的面积为y，求y关于x的函数关系式。

Answer 1

解：（1）∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C

        ∴△AMN∽△ABC……………………………………………………………（1分）

        ∴，即，∴

        ∵AM⊥AN，∴…………………（3分）

   （2）设BC与⊙O相切于点D，连接AO、OD，

则AO=OD=MN

    在Rt△ABC中，

    又∵△AMN∽△ABC，

   ∴，即，∴，∴………………………（4分）

   过M作MQ⊥BC于Q，则

   则△BMQ∽△ABC，

   ∴，∴

   ∵

   ∴…………………………………………………………………………（6分）

（3）∵∠A=90°，PM//AC，∠MPN=90°

    ∴四边形AMPN是矩形…………………（7分）

    ∴PN=AM=x

    又∵四边形BFNM是平行四边形，

    ∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-(8-x)=2x-8…（8分）

    又Rt△PEF∽Rt△ABC，∴，  

    ∴

    ∵

    ∴………（10分）