题目内容
复习完“四边形”内容后，老师出示下题：如图1，直角三角板的直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上移动，一直角边始终经过点C，另一直角边交直线AB于点Q，连接QC．求证：∠PQC=∠DBC．
（1）请你完成上面这道题；
（2）完成上题后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出许多问题，如：
①如图2，若将题中的条件“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其余条件都不变，是否仍能得到∠PQC=∠DBC？
②如图3，若将题中的条件“正方形ABCD”改为“直角梯形ABCD”，其余条件都不变，是否仍能得到∠PQC=∠DBC？
请你对上述反思①和②作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①______；②______．并对①、②中的判断，选择其中一个说明理由．
【答案】分析：（1）首先过点P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分别为M、N．由四边形ABCD为正方形，易证得△MPC≌△NPQ，即可得PC=PQ，即可得∠PQC=∠PCQ=45°=∠DBC．
（2）①首先过点P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分别为M、N．由四边形ABCD是矩形，易得四边形PNBM为矩形，即可得△MPC∽△NPQ，由相似三角形的对应边成比例，可得
，又由在Rt△PBM中，tan∠PBM=
与在Rt△PQC中tan∠PQC=
，即可证得∠PQC=∠DBC．
②首先过点P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分别为M、N．由四边形ABCD是直角梯形，易得四边形PNBM为矩形，即可得△MPC∽△NPQ，由相似三角形的对应边成比例，可得
，又由在Rt△PBM中，tan∠PBM=
与在Rt△PQC中tan∠PQC=
，即可证得∠PQC=∠DBC．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，∠ABD=∠DBC=
∠ABC=45°，
过点P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分别为M、N．
则∠PNB=∠PMB=90°，MP=NP．
∴∠MPN=90°，即∠QPN+∠QPM=90°．
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°，
∴∠CPM=∠QPN，
在△MPC和△NPQ中，
∵
，
∴△MPC≌△NPQ（ASA）．
∴PC=PQ．
∴∠PQC=∠PCQ=45°=∠DBC．
（2）①是；②是．
①的证明：如图2，
过点P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分别为M、N．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠NBM=∠PMB=∠PNB=90°，
∴四边形PNBM为矩形，则MB=NP，∠MPN=90°．
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°，∠QPN+∠QPM=∠MPN=90°，
∴∠CPM=∠QPN，
又∵∠PMC=∠PNQ=90°，
∴△MPC∽△NPQ，
∴
，
∵PN=MB，
∴
，
在Rt△PBM中，tan∠PBM=
，
在Rt△PQC中tan∠PQC=
，
∴tan∠PBM=tan∠PQC，
∴∠PBM=∠PQC，
即∠PQC=∠DBC．
②的证明：如图3，
过点P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分别为M、N，
∵四边形ABCD是梯形，
∴∠NBM=∠PMB=∠PNB=90°，
∴四边形PNMB是矩形，则MB=NP，∠MPN=90°．
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°，∠QPN+∠QPM=∠MPN=90°，
∴∠CPM=∠QPN，
又∵∠PMC=∠PNQ=90°，
∴△MPC∽△NPQ，
∴
，
∵PN=MB，
∴
，
在Rt△PBM中，tan∠PBM=
，
在Rt△PQC中tan∠PQC=
，
∴tan∠PBM=tan∠PQC，
∴∠PBM=∠PQC，即∠PQC=∠DBC．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、直角梯形的性质以及正切函数的定义．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
（2）①首先过点P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分别为M、N．由四边形ABCD是矩形，易得四边形PNBM为矩形，即可得△MPC∽△NPQ，由相似三角形的对应边成比例，可得
，又由在Rt△PBM中，tan∠PBM=与在Rt△PQC中tan∠PQC=，即可证得∠PQC=∠DBC．②首先过点P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分别为M、N．由四边形ABCD是直角梯形，易得四边形PNBM为矩形，即可得△MPC∽△NPQ，由相似三角形的对应边成比例，可得
，又由在Rt△PBM中，tan∠PBM=与在Rt△PQC中tan∠PQC=，即可证得∠PQC=∠DBC．解答：证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，∠ABD=∠DBC=
∠ABC=45°，过点P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分别为M、N．
则∠PNB=∠PMB=90°，MP=NP．
∴∠MPN=90°，即∠QPN+∠QPM=90°．
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°，
∴∠CPM=∠QPN，
在△MPC和△NPQ中，
∵
，∴△MPC≌△NPQ（ASA）．
∴PC=PQ．
∴∠PQC=∠PCQ=45°=∠DBC．
（2）①是；②是．
①的证明：如图2，过点P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分别为M、N．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠NBM=∠PMB=∠PNB=90°，
∴四边形PNBM为矩形，则MB=NP，∠MPN=90°．
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°，∠QPN+∠QPM=∠MPN=90°，
∴∠CPM=∠QPN，
又∵∠PMC=∠PNQ=90°，
∴△MPC∽△NPQ，
∴
，∵PN=MB，
∴
，在Rt△PBM中，tan∠PBM=
，在Rt△PQC中tan∠PQC=
，∴tan∠PBM=tan∠PQC，
∴∠PBM=∠PQC，
即∠PQC=∠DBC．
②的证明：如图3，
过点P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分别为M、N，
∵四边形ABCD是梯形，
∴∠NBM=∠PMB=∠PNB=90°，
∴四边形PNMB是矩形，则MB=NP，∠MPN=90°．
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°，∠QPN+∠QPM=∠MPN=90°，
∴∠CPM=∠QPN，
又∵∠PMC=∠PNQ=90°，
∴△MPC∽△NPQ，
∴
，∵PN=MB，
∴
，在Rt△PBM中，tan∠PBM=
，在Rt△PQC中tan∠PQC=
，∴tan∠PBM=tan∠PQC，
∴∠PBM=∠PQC，即∠PQC=∠DBC．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、直角梯形的性质以及正切函数的定义．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
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