题目内容
(2012•上虞市模拟)复习完“四边形”内容后,老师出示下题:
如图1,直角三角板的直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上移动,一直角边始终经过点C,另一直角边交直线AB于点Q,连接QC.求证:∠PQC=∠DBC.
(1)请你完成上面这道题;
(2)完成上题后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出许多问题,如:
①如图2,若将题中的条件“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,其余条件都不变,是否仍能得到∠PQC=∠DBC?
②如图3,若将题中的条件“正方形ABCD”改为“直角梯形ABCD”,其余条件都不变,是否仍能得到∠PQC=∠DBC?
请你对上述反思①和②作出判断,在下列横线上填写“是”或“否”:①
如图1,直角三角板的直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上移动,一直角边始终经过点C,另一直角边交直线AB于点Q,连接QC.求证:∠PQC=∠DBC.
(1)请你完成上面这道题;
(2)完成上题后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出许多问题,如:
①如图2,若将题中的条件“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,其余条件都不变,是否仍能得到∠PQC=∠DBC?
②如图3,若将题中的条件“正方形ABCD”改为“直角梯形ABCD”,其余条件都不变,是否仍能得到∠PQC=∠DBC?
请你对上述反思①和②作出判断,在下列横线上填写“是”或“否”:①
是
是
;②是
是
.并对①、②中的判断,选择其中一个说明理由.分析:(1)首先过点P作PM⊥BC,PN⊥AB,垂足分别为M、N.由四边形ABCD为正方形,易证得△MPC≌△NPQ,即可得PC=PQ,即可得∠PQC=∠PCQ=45°=∠DBC.
(2)①首先过点P作PM⊥BC,PN⊥AB,垂足分别为M、N.由四边形ABCD是矩形,易得四边形PNBM为矩形,即可得△MPC∽△NPQ,由相似三角形的对应边成比例,可得
=
=
,又由在Rt△PBM中,tan∠PBM=
与在Rt△PQC中tan∠PQC=
,即可证得∠PQC=∠DBC.
②首先过点P作PM⊥BC,PN⊥AB,垂足分别为M、N.由四边形ABCD是直角梯形,易得四边形PNBM为矩形,即可得△MPC∽△NPQ,由相似三角形的对应边成比例,可得
=
=
,又由在Rt△PBM中,tan∠PBM=
与在Rt△PQC中tan∠PQC=
,即可证得∠PQC=∠DBC.
(2)①首先过点P作PM⊥BC,PN⊥AB,垂足分别为M、N.由四边形ABCD是矩形,易得四边形PNBM为矩形,即可得△MPC∽△NPQ,由相似三角形的对应边成比例,可得
PC |
PQ |
MP |
NP |
MP |
MB |
PM |
BM |
PC |
PQ |
②首先过点P作PM⊥BC,PN⊥AB,垂足分别为M、N.由四边形ABCD是直角梯形,易得四边形PNBM为矩形,即可得△MPC∽△NPQ,由相似三角形的对应边成比例,可得
PC |
PQ |
MP |
NP |
MP |
MB |
PM |
BM |
PC |
PQ |
解答:证明:(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABC=90°,∠ABD=∠DBC=
∠ABC=45°,
过点P作PM⊥BC,PN⊥AB,垂足分别为M、N.
则∠PNB=∠PMB=90°,MP=NP.
∴∠MPN=90°,即∠QPN+∠QPM=90°.
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°,
∴∠CPM=∠QPN,
在△MPC和△NPQ中,
∵
,
∴△MPC≌△NPQ(ASA).
∴PC=PQ.
∴∠PQC=∠PCQ=45°=∠DBC.
(2)①是;②是.
①的证明:如图2,
过点P作PM⊥BC,PN⊥AB,垂足分别为M、N.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠NBM=∠PMB=∠PNB=90°,
∴四边形PNBM为矩形,则MB=NP,∠MPN=90°.
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°,∠QPN+∠QPM=∠MPN=90°,
∴∠CPM=∠QPN,
又∵∠PMC=∠PNQ=90°,
∴△MPC∽△NPQ,
∴
=
,
∵PN=MB,
∴
=
=
,
在Rt△PBM中,tan∠PBM=
,
在Rt△PQC中tan∠PQC=
,
∴tan∠PBM=tan∠PQC,
∴∠PBM=∠PQC,
即∠PQC=∠DBC.
②的证明:如图3,
过点P作PM⊥BC,PN⊥AB,垂足分别为M、N,
∵四边形ABCD是梯形,
∴∠NBM=∠PMB=∠PNB=90°,
∴四边形PNMB是矩形,则MB=NP,∠MPN=90°.
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°,∠QPN+∠QPM=∠MPN=90°,
∴∠CPM=∠QPN,
又∵∠PMC=∠PNQ=90°,
∴△MPC∽△NPQ,
∴
=
,
∵PN=MB,
∴
=
=
,
在Rt△PBM中,tan∠PBM=
,
在Rt△PQC中tan∠PQC=
,
∴tan∠PBM=tan∠PQC,
∴∠PBM=∠PQC,即∠PQC=∠DBC.
∴∠ABC=90°,∠ABD=∠DBC=
1 |
2 |
过点P作PM⊥BC,PN⊥AB,垂足分别为M、N.
则∠PNB=∠PMB=90°,MP=NP.
∴∠MPN=90°,即∠QPN+∠QPM=90°.
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°,
∴∠CPM=∠QPN,
在△MPC和△NPQ中,
∵
|
∴△MPC≌△NPQ(ASA).
∴PC=PQ.
∴∠PQC=∠PCQ=45°=∠DBC.
(2)①是;②是.
①的证明:如图2,
过点P作PM⊥BC,PN⊥AB,垂足分别为M、N.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠NBM=∠PMB=∠PNB=90°,
∴四边形PNBM为矩形,则MB=NP,∠MPN=90°.
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°,∠QPN+∠QPM=∠MPN=90°,
∴∠CPM=∠QPN,
又∵∠PMC=∠PNQ=90°,
∴△MPC∽△NPQ,
∴
PC |
PQ |
MP |
NP |
∵PN=MB,
∴
PC |
PQ |
MP |
NP |
MP |
MB |
在Rt△PBM中,tan∠PBM=
PM |
BM |
在Rt△PQC中tan∠PQC=
PC |
PQ |
∴tan∠PBM=tan∠PQC,
∴∠PBM=∠PQC,
即∠PQC=∠DBC.
②的证明:如图3,
过点P作PM⊥BC,PN⊥AB,垂足分别为M、N,
∵四边形ABCD是梯形,
∴∠NBM=∠PMB=∠PNB=90°,
∴四边形PNMB是矩形,则MB=NP,∠MPN=90°.
∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°,∠QPN+∠QPM=∠MPN=90°,
∴∠CPM=∠QPN,
又∵∠PMC=∠PNQ=90°,
∴△MPC∽△NPQ,
∴
PC |
PQ |
MP |
NP |
∵PN=MB,
∴
PC |
PQ |
MP |
NP |
MP |
MB |
在Rt△PBM中,tan∠PBM=
PM |
BM |
在Rt△PQC中tan∠PQC=
PC |
PQ |
∴tan∠PBM=tan∠PQC,
∴∠PBM=∠PQC,即∠PQC=∠DBC.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、直角梯形的性质以及正切函数的定义.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法是解此题的关键,注意数形结合思想的应用.
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