Question

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．  
（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；     
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？      
（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式.

Answer 1

解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴△AMN ∽△ABC．
∴，即．
∴AN＝x．         
∴=．（0＜＜4） 
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO="OD" =MN．
在Rt△ABC中，BC ＝=5．
由（1）知 △AMN ∽△ABC．
∴，即．  
∴，
∴． 
过M点作MQ⊥BC于Q，则． 
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．
∴．
∴，
．
∴x＝． 
∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．
∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴△AMO ∽△ABP．  
∴． AM＝MB＝2． 
故以下分两种情况讨论：
① 当0＜≤2时，．  
② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．
∵ 四边形AMPN是矩形，  
∴PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵ MN∥BC，
∴ 四边形MBFN是平行四边形．
∴ FN＝BM＝4－x． 
∴．
又△PEF ∽△ACB． 
∴．
∴．
＝．

解析