Question

已知平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，在直线BA上截取BF=2AF，EF交BD于点G，则

GB

GD

=

 

．

Answer 1

分析：由平行四边形的性质易证两三角形相似，但是由于点F的位置未定，需分类讨论．分两种情况：（1）点F在线段AB上时；（2）点F在线段BA的延长线上时．

解答：解：（1）点F在线段AB上时，设EF与DA的延长线交于H，
∵BC∥AD，
∴△EBF∽△HAF，
∴HA：BE=AF：BF=1：2，
即HA=

1

2

BE
∵BC∥AD，
∴△DHG∽△BEG，
∴BG：DG=BE：DH
∵BC=AD=2BE，
∴DH=AD+AH=2BE+

1

2

BE=

5

2

BE，
∴BG：DG=2：5；

（2）点F在线段AB的延长线上时，设EF与DA的延长线交于H，
∵BC∥AD，
∴△EBF∽△HAF，
∴HA：BE=AF：BF=1：2，
即HA=

1

2

BE
∵BC∥AD，
∴△DHG∽△BEG，
∴BG：DG=BE：DH
∵BC=AD=2BE，
∴DH=AD+AH=2BE-

1

2

BE=

3

2

BE，
∴BG：DG=2：3．
故答案为：

2

5

或

2

3

．

点评：本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．