Question

如图1，已知正方形ABCD的边长为2

3

，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．
（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；
（2）求四边形CDPF的周长；
（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF•FG=CF•OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据切线长定理得到FB=FE，PE=PA；
（2）根据切线长定理，发现：该四边形的周长等于正方形的三边之和；
（3）根据若要满足结论，则∠BFO=∠GFC，根据切线长定理得∠BFO=∠EFO，从而得到这三个角应是60°，然后结合已知的正方形的边长，也是圆的直径，利用30°的直角三角形的知识进行计算．

解答：解：（1）FB=FE，PE=PA．

（2）四边形CDPF的周长为
FC+CD+DP+PE+EF=FC+CD+DP+PA+BF
=BF+FC+CD+DP+PA
=BC+CD+DA
=2

3

×3=6

3

．

（3）存在．
∵BF•FG=CF•OF
∴

BF

OF

=

CF

FG

∵cos∠OFB=

BF

OF

，cos∠GFC=

CF

FG

∴∠OFB=∠GFC
∵∠OFB=∠OFE
∴∠OFE=∠OFB=∠GFC=60°
∴在Rt△OFB中，FE=FB=

OB

tan60°

=1
∴在Rt△GFC中
∵CG=CF•tan∠GFC=CF•tan60°=（2

3

-1）tan60°=6-

3

∴DG=CG-CD=6-3

3

∴DP=DG•tan∠PGD=DG•tan30°=2

3

-3
∴AP=AD-DP=2

3

-（2

3

-3）=3．

点评：此题综合运用了切割线定理直角三角形的性质进行求解．