Question

（2013•苍梧县二模）如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，设E是抛物线上在第一象限内的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+4，然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；
（2）设E点坐标为（n，-n²+2n+3），抛物线对称轴为x=1，根据2|n-1|=EF，列方程求解；
（3）首先设M的坐标为（a，0），求得BD与DM的长，由平行线分线段成比例定理，求得MN的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得DM²=BD•MN，则可得到关于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+4，
∵点B的坐标为（3，0）．
∴4a+4=0，
∴a=-1，
∴此抛物线的解析式为：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）设E点坐标为（n，-n²+2n+3），抛物线对称轴为x=1，
由2（n-1）=EF，得2（n-1）=-（-n²+2n+3）或2（n-1）=-n²+2n+3，
解得n=2±

5

或n=±

5

∵n＞0，
∴n=2+

10

或n=

5

，
边长EF=2（n-1）=2+2

10

或2

5

-2；

（3）存在．
过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，
∵BD=

32+32

=3

2

，设M（c，0），
∵MN∥BD，
∴

MN

BD

=

AM

AB

，
即

MN

3 2

=

1+c

4

，
∴MN=

3 2

4

（1+c），DM=

32+c2

，
要使△DNM∽△BMD，
需

DM

BD

=

MN

DM

，即DM²=BD•MN，
可得：9+c²=3

2

×

3 2

4

（1+c），
解得：c=

3

2

或c=3（舍去）．
当x=

3

2

时，y=-（

3

2

-1）²+4=

15

4

．
故存在，点T的坐标为（

3

2

，

15

4

）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理等知识．解题的关键是准确地用点的坐标表示线段的长，根据图形的特点，列方程求解，注意数形结合思想的应用．