题目内容
如图，抛物线y=
x2-
x+c分别交x轴的负半轴和正半轴于点A（x1，0）、B（x2，0），交y轴的负轴于点C，且tan∠OAC=2tan∠OBC，动点P从点A出发向终点B运动，同时动点Q从点B出发向终点C运动，P、Q的运动速度均为每秒1个单位长度，且当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间是t秒．
（1）试说明OB=2OA；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（4）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 4 |
（1）试说明OB=2OA；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（4）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？
（1）由条件得：
=2×
∴OB=2OA．
（2）由条件与第（1）题的结论得：-2x1=x2，
根据抛物线对称轴可得，x1+x2=2，
x1x2=
c，
解得：x1=-2，x2=4，c=-3；
抛物线的解析式；y=
x2-
x-3；
（3）由条件得：BP=6-t，BQ=t，
令y=
x2-
x-3中y=0，得到3x2-6x-24=0，
解得：x=-2或4，
即OB=4，OA=2，
又∵OC=3，
在直角三角形BOC中，根据勾股定理得：BC=5，
∴cos∠ABC=
=
，
在直角三角形PBQ中，分BQ为斜边或PB为斜边，
可得
=
或
=
，
∴t=
秒或t=
秒；
（4）作QE⊥AB，
∵BP=6-t，BQ=t，PQ=
=
，
t=6-t，
∴t=3秒
或
=
∴t=
秒；
或
)2=6-t，
∴t=0（舍去），t=
．
| OC |
| OA |
| OC |
| OB |
∴OB=2OA．
（2）由条件与第（1）题的结论得：-2x1=x2，
根据抛物线对称轴可得，x1+x2=2，
x1x2=
| 8 |
| 3 |
解得：x1=-2，x2=4，c=-3；
抛物线的解析式；y=
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 4 |
（3）由条件得：BP=6-t，BQ=t，
令y=
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 4 |
解得：x=-2或4，
即OB=4，OA=2，
又∵OC=3，
在直角三角形BOC中，根据勾股定理得：BC=5，
∴cos∠ABC=
| BO |
| BC |
| 4 |
| 5 |
在直角三角形PBQ中，分BQ为斜边或PB为斜边，
可得
| 6-t |
| t |
| 4 |
| 5 |
| t |
| 6-t |
| 4 |
| 5 |
∴t=
| 10 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
（4）作QE⊥AB，
∵BP=6-t，BQ=t，PQ=
| EQ2+PE2 |
(
|
t=6-t，
∴t=3秒
或
| 4t |
| 5 |
| 6-t |
| 2 |
∴t=
| 30 |
| 13 |
或
(
|
∴t=0（舍去），t=
| 48 |
| 13 |
练习册系列答案
相关题目
点运动，若P、Q同时出发，当其中的一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒钟．
