题目内容

我们运用图（I）图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×
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ab，即（a+b）2=c2+4×
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ab由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．
（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2=x2+2xy+y2
（3）现有足够多的边长为x的小正方形，边长为y的大正方形以及长为x宽为y的长方形，请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+y）（x+2y）=x2+3xy+2y2．
分析：（1）根据阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=4个直角三角形的面积，即可证明；
（2）可以拼成一个边长是x+y的正方形，它由两个边长分别是x、y的正方形和两个长、宽分别是x、y的长方形组成；
（3）可以拼成一个长、宽分别是x+y和x+2y的长方形，它由边长是x的正方形，以及边长为y的正方形和长宽分别是x和y的矩形进而得出答案．
解答：解：（1）大正方形的面积为：c2，中间空白部分正方形面积为：（b-a）2；
四个阴影部分直角三角形面积和为：4×
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ab；
由图形关系可知：大正方形面积=空白正方形面积+四直角三角形面积，即有：
c2=（b-a）2+4×
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ab=b2-2ab+a2+2ab=a2+b2；

（2）如图1所示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，
它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，
即x2+2xy+y2
所以有：（x+y）2=x2+2xy+y2成立；

（3）如图2所示：大矩形的长、宽分别为（x+y），（x+2y），则其面积为：（x+y）•（x+2y），
从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形以及2个边长为y的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为：
x2+3xy+2y2，
则有：（x+y）（x+2y）=x2+3xy+2y2．
点评：此题主要考查了勾股定理的证明，注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法．
练习册系列答案
相关题目
（2012•溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：
如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．
我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．
有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
探究：
（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是
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；
运用：
（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是
（2，0）
（2，0）
；

操作：
（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）
（2013•青岛）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．
这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．

【研究速算】
提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）
十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果
十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果
．
【研究方程】
提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x-35=0（x＞0）？
几何建模：
（1）变形：x（x+2）=35．
（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．
即（x+x+2）2=4x（x+2）+22
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）2=4×35+22
∴（2x+2）2=144
∵x＞0
∴x=5
归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）
【研究不等关系】
提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？
几何建模：
（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割
（2）变形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
归纳提炼：
当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．
根据题意，设a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）
探索：在图1至图3中，已知△ABC的面积为a，
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=
a
a
（用含a的代数式表示）
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=
2a
2a
（用含a的代数式表示）
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=
6a
6a
（用含a的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由．
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的
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倍．
应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种谎话，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：
（1）种紫花的区域的面积；
（2）种蓝花的区域的面积．
如图①，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的平分线，我们易得∠BOC=90°+
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∠A（不必证明，本题可直接运用）；在图②中，当BO′、CO′分别为∠ABC和∠ACB的外角平分线时，求∠BO′C与∠A的数量关系．我们可以利用“转化”的思想，将未知的∠BO′C转化为已知的∠BOC：如图②，作BO、CO平分∠ABC和∠ACB．

（1）在图②中存在如图③的基本图形：点A、B、D在同一直线上，且BO、BO′分别平分∠ABC和∠DBC，试证明：BO⊥BO′；
（2）试直接利用上述基本图形的结论，猜想并证明图②中∠BO′C与∠A的数量关系；
（3）如图④，BP、CP分别为内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，试运用上述转化的思想猜想并证明∠BPC与∠A的数量关系．

(1)我们知道山坡的坡角越大，则坡越陡，联想到课本中的结论：tanA的值越大，则坡越陡，我们会得到一个锐角逐渐变大时，它的正切值随着这个角的变化而变化的规律，请你写出这个规律：________．

(2)如图，在Rt△ABC中，∠B＝，AB＝a，BC＝b(a＞b)，延长BA、BC，使AE＝CD＝c，直线CA、DE交于点F．请运用上题中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式．

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