题目内容

如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求直线BC的函数表达式；

(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．

①当线段PQ＝AB时，求tan∠CED的值；

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

温馨提示：考生可以根据第⑶问的题意，在图中补出图形，以便作答．

答案：
解析：

　　(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

　　∴

　　∴b＝－2．

　　∵抛物线与y轴交于点C(0，－3)，

　　∴c＝－3，

　　∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3．

　　(2)∵抛物线与x轴交于A、B两点，

　　当y＝0时，x2－2x－3＝0．

　　∴x1＝－1，x2＝3．

　　∵A点在B点左侧，

　　∴A(－1，0)，B(3，0)

　　设过点B(3，0)、C(0，－3)的直线的函数表达式为y＝kx＋m，

　　则，∴

　　∴直线BC的函数表达式为y＝x－3．

　　(3)①∵AB＝4，PO＝AB，

　　∴PO＝3

　　∵PO⊥y轴

　　∴PO∥x轴，则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为，

　　∴P(，)

　　∴F(0，)，

　　∴FC＝3－OF＝3－＝．

　　∵PO垂直平分CE于点F，

　　∴CE＝2FC＝

　　∵点D在直线BC上，

　　∴当x＝1时，y＝－2，则D(1，－2)．

　　过点D作DG⊥CE于点G，

　　∴DG＝1，CG＝1，

　　∴GE＝CE－CG＝－1＝．

　　在Rt△EGD中，tan∠CED＝．

　　②P1(1－，－2)，P2(1－，)．


练习册系列答案
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如图，已知抛物线ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4与ｘ轴相交于点A和点B，与ｙ轴相交于点D（0，8），直线DC平行于ｘ轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒．

（１）求ａ的值；

（２）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；

（３）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．

（４）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？
（9分）如图，已知抛物线y＝x2＋bx－3a过点A(1，0)，B(0，－3)，与x轴交于另一点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，
求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形
为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（本题9分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点C、D是抛物线上的一对对称点．

【小题1】(1)求抛物线的解析式；
【小题2】(2)求点D的坐标，并在图中画出直线BD；
【小题3】(3)求出直线BD的一次函数解析式，并根据图象回答：当x满足什么条件时，上述二次函数的值大于该一次函数的值．

（9分）如图，已知抛物线y＝x2＋bx－3a过点A(1，0)，B(0，－3)，与x轴交于另一点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，
求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形
为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（本题满分10分）

如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、C（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．

1.（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

2.（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；

3.（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

 

 

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