题目内容
【题目】我们把能被13整除的数称为“自觉数”，已知一个整数，把其个位数字去掉，再从余下的数中加上个位数的4倍如果和是13的倍数，则原数为“自觉数”，如果数字仍然太大不能直接观察出来就重复此过程．如416：41+4×6＝65，65÷13＝5，所以416是自觉数；又如25281：2528+4×1＝2532，253+4×2＝261，26+4×1＝30，因为30不能被13整除，所以25281不是“自觉数”．
（1）判断27365是否为自觉数 （填“是”或者“否”）．
（2）一个四位数n＝
，规定F（n）＝|a+d﹣b×c|，如：F（2019）＝|2+9﹣0×1|＝11，若四位数n能被65整除，且该四位数的千位数字和十位数字相同，其中1≤a≤4．求出所有满足条件的四位数n中，F（n）的最大值．
【答案】（1）是；（2）32．
【解析】
（1）根据“自觉数”的方法计算即可得出结论；
（2）先确定出n既能被5整除也能被13整除，进而确定出
或
，分两种情况，利用n能13整除计算即可得出结论.
（1）
因为65能被13整除
所以27365是自觉数
故答案为：是；
（2）∵四位数
能被65整除
∴四位数既能被13整除也能被5整除
∵四位数n能被5整除
∴四位数n的个位数字是0或5
即或
∵四位数n的千位数字和十位数字相同
当时，
去掉个位数字0，得到三位数
∵四位数能被13整除
∴三位数能被13整除
再去掉个位数字a，得到两位数
则
能被13整除
∵b是四位数字的百位数字
或39或52或65
当
时，
，不存在符合题意的a，b的值
当
时，
，不存在符合题意的a，b的值
当
时，
，不存在符合题意的a，b的值
当
是，
，此时
即
当时，
去掉个位数字5得到三位数
∵四位数能被13整除
能被13整除
而
的个位数字是a
再去掉个位数字，得到的两位数的个位数字为
，十位数字是a
则
能被13整除
或39或52或65
当
时，
，不存在符合题意的a，b的值
当
时，
，此时
即
当
时，
，此时
即
当
时，
，此时
即
综上，
的值为32或11或16或19
故最大值为32.
