题目内容

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 $数学公式$ 的图象相交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求∠OAB的度数；
（3）过A点作AE⊥x轴于点E，P是反比例函数 $数学公式$ 的图象在第四象限上的一动点．当P运动时PO²+PE²-2PC²是否是一个定值？若是求其值，若改变说明理由．

解：（1）根据题意，反比例函数y₂= $\text{[math]}$ 的图象过（-2、1），（1，n）
易得m=-2，n=-2；
则y₁=kx+b的图象也过点（-2、1），（1，2）；
代入解析式可得k=-1，b=-1；
故两个函数的解析式为y₂=- $\text{[math]}$ 、y₁=-x-1；

（2）连接OB、OA，根据反比例函数的对称性，
即有OA=OB= $\text{[math]}$ ，AB=3 $\text{[math]}$ ，
即有cos∠BAO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即∠BAO≈19°．

（3）根据题意，可得E（-2，0），
又一次函数y₁=-x-1，y₁=0，得x=-1
即C（-1，0）
设点P（x，- $\text{[math]}$ ），即OP²=x²+ $\text{[math]}$ ，PE²=（x+2）²+ $\text{[math]}$ ，PC²=（x+1）²+ $\text{[math]}$ ，
即PO²+PE²-2PC²=x²+ $\text{[math]}$ +（x+2）²+ $\text{[math]}$ -2（x+1）²+2 $\text{[math]}$ ，
=x²+（x+2）²-2（x+1）²=2，为定值．
分析：（1）先根据图象，可得出一次函数和反比例函数y₂= $\text{[math]}$ 的图象过（-2、1），（1，n），可得m、n的值，代入一次函数的解析式和反比例函数式，可得一次函数的解析式和反比例函数式．
（2）连接OB、OA，根据反比例函数的对称性，可得OA=OB，利用（1）可易得出AB= $\text{[math]}$ ，利用余弦定理即可得出cos∠BAO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即∠BAO=45°．
（3）设出点P的坐标，分别表示出各线段的平方，代入花间求解即可，得出结果为一定值．
点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
（1）反比例函数y=kx的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
（2）一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．