Question

如图①，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A(－1，0)、B(0，2)，抛物线y＝ax²＋ax－2经过点C。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图②，E为BC延长线上一动点，过A．B．E三点作⊙O’，连结AE，在⊙O’上另有一点F，且AF＝AE，AF交BC于点G，连结BF。下列结论：①BE＋BF的值不变；②，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。

Answer 1

解:

(1)    由Rt△AOB≌Rt△CDA得OD=2+1=3，CD=1，C点的坐标为（-3，1），

 ∵抛物线经过点C，

∴。

∴抛物线的解析式为。

（2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。

以AB为边在AB的右侧作正方形ABPQ。过P作PE⊥OB于E，QG⊥x轴于G，

可证△PBE≌△AQG≌△BAO,

∴PE=AG=BO=2,  BE=QG=AO=1,

∴P点坐标为（2，1），Q点坐标为（1，-1）。

由（1）抛物线。当x=2时，y=1；当x=1时，y=-1。

∴P、Q在抛物线上，故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2，1）、Q（1，-1），使四边形ABPQ是正方形。

（2）另解：在抛物线（对称轴右侧）上存在P、Q，使四边形ABPQ是正方形。

延长CA交抛物线于Q，过B作BP∥CA交抛物线于P，连接PQ，

如左图，设直线CA、BP的解析式分别为;,

∵A(-1,0),C(-3,1),∴CA的解析式是，

同理得BP的解析式为，

解方程组

得Q点坐标为（1，-1）。同理得P点的坐标为（2，1）。

由勾股定理得AQ=BP=AB=.而∠BAQ=90°，

∴四边形ABPQ是正方形。故在抛物线（对称轴右侧）上存在点P（2，1）、Q（1，-1），使四边形ABPQ是正方形。

（2）另解：在抛物线（对称轴右侧）上存在P、Q，使四边形ABPQ是正方形。

延长CA交抛物线于Q，过B作BP∥CA交抛物线于P，连接PQ，

如左图，将线段CA沿CA方向平移至AQ，

∵C（-3，1）的对应点是A（-1，0），∴A（-1，0）的对应点是Q（1，-1）；

再将线段AQ沿AB方向移至BP，同理可得P(2,1).

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴四边形ABPQ是正方形。

经验证P、Q两点均在抛物线上

上。

（3）结论②成立。证明如下：

如右图，连EF，过F作FM∥BG交AB的延长线于M，则△AMF∽△ABC，

∴。

由（1）知△ABC是等腰直角三角形，∴∠1=∠2=45°。

∵AF=AE, ∴∠AEF=∠1=45°, ∠EAF=90°，EF是⊙O^`的直径，∴∠EBF=90°，

∵FM∥BG，∴∠MFB=∠EBF=90°，∠M=∠2=45°, ∴BF=MF, ∴