题目内容
（2012•青羊区一模）如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若BC=2OC，求sinE的值．
分析：（1）要证PB是⊙O的切线，只要连接OA，再证∠PBO=90°即可；
（2）连接AD，证明△ADE∽△POE，得到
=
，设OC=t，则BC=2t，AD=2t，由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．
（2）连接AD，证明△ADE∽△POE，得到
| EA |
| EP |
| AD |
| OP |
解答：（1）证明：连接OA
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
在△PBO和△PAO中
，
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB为⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵BD是直径，∠BAD=90°
由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴
=
，由AD∥OC得AD=2OC，
∵BC=2OC，设OC=t，则BC=2t，AD=2t．
∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠BOC=∠PBC，
∵∠OCB=∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴PC=2BC=4t，OP=5t．
∴
=
=
，可设EA=2m，EP=5m，则PA=3m．
∵PA=PB，
∴PB=3m，sinE=
=
．
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
在△PBO和△PAO中
|
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB为⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵BD是直径，∠BAD=90°
由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴
| EA |
| EP |
| AD |
| OP |
∵BC=2OC，设OC=t，则BC=2t，AD=2t．
∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠BOC=∠PBC，
∵∠OCB=∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴PC=2BC=4t，OP=5t．
∴
| EA |
| EP |
| AD |
| OP |
| 2 |
| 5 |
∵PA=PB，
∴PB=3m，sinE=
| PB |
| EP |
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
练习册系列答案
相关题目