Question

（1）计算：cos60°+

12

-(

1

2

)-1×(2008-

2

)0
（2）先化简再求值：

x

x-1

÷

x2-x

x2-1

-

1

x-1

，其中x=sin45°．
（3）a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程b（x²-1）-2ax+c（x²+1）=0有两个相等的实根．求证：这个三角形是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）先计算乘方、后代入三角函数值计算加减；
（2）先将除法转化为乘法的形式，然后分解因式、约分化简，最后通分、合并同类项；
（3）先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后根据根的判别式△=b²-4ac=0证明．

解答：解：（1）原式=

1

2

+2

3

-2×1，
=2

3

-

3

2

；

（2）原式=

x

x-1

×

(x-1)(x+1)

x(x-1)

-

1

x-1

，
=

(x+1)-1

x-1

，
=

x

x-1

；
∵x=sin45°=

2

2

，
∴原式=

2 2

2 2 -1

，
=

2

2 -2

，
=

2 ( 2 +2)

( 2 -2)( 2 +2)

，
=-1-

2

；

（3）证明：由原方程，得
（b+c）x²-2ax-b+c=0，
∵关于x的方程b（x²-1）-2ax+c（x²+1）=0有两个相等的实根，
∴△=4a²-4（b+c）（-b+c）=0，
即a²-c²+b²=0，
∴a²+b²=c²，
∴这个三角形是直角三角形．

点评：本题综合考查了根的判别式、分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂、勾股定理的逆定理以及特殊角的三角函数值．虽然考查知识点比较多，但是难度不大，均属于基础题．