Question

【题目】如图，中，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒.

（1）当为几秒时，平分；

（2）问为何值时，为等腰三角形？

（3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动. 当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？

Answer 1

【答案】（1）3；

（2）或或或时为等腰三角形；

（3）或时，直线把的周长分成相等的两部分.

【解析】

（1）过点P作PQ⊥AB，根据勾股定理求出AC，再根据角平分线的性质可分别求出PM=PC，BM=BC，从而求出AM，设PM=PC=x，则AP=8－x，然后利用勾股定理列方程即可求出PC的长，从而求出时间t.

（2）根据等腰三角形的腰情况分类讨论：1°若在边上时，，易求时间t；2°若在边上时，有三种情况：①若使，先求出P的运动路程，然后求t即可；②若，过作斜边的高CD，先求出P的运动路程，然后求t即可；③若时，先求出P的运动路程，然后求t即可；

（3）先求出△ABC的周长，再根据相遇前和相遇后分类讨论：①相遇前当点在上，在上，然后根据△ABC的周长的一半列方程即可求出t；②相遇后当点在上，在上，原理同上.

（1）如图所示，过点P作PQ⊥AB

∵

根据勾股定理可知：AC=

∵平分,∠C=90°，PQ⊥AB

∴PM=PC，∠MPB=90°－∠MBP =90°－∠CBP =∠CPB

∴BM=BC=6cm

∴AM=AB－BM=4

设PM=PC=x，则AP=8－x

根据勾股定理：

∴

解得x=3

∴PM=PC=3cm

∵点P速度为每秒

∴当= PC÷1=3秒时，平分；

（2）1°若在边上时，，如图所示，

此时用的时间为：t=PC÷1=，为等腰三角形；

2°若在边上时，有三种情况：

①若使，如图所示

此时，

∴运动的路程为AC＋AP=，

∴所以用的时间为：t=， 为等腰三角形；

②若，过作斜边的高CD，如图所示

∴BP=2BD

∵

解得：，

根据勾股定理

，

∴运动的路程为，

∴所以用的时间为：t=， 为等腰三角形；

③若时，如图所示，

则，

∵，

∴，

∴

∴

∴的路程为AC＋AP=，

∴所以用的时间为：t=， 为等腰三角形.

∴综上所述：或或或时，为等腰三角形.

（3）△ABC的周长为：AB+BC+AC=24cm，周长的一半为：12cm

①相遇前当点在上，在上，

则，

解得：；

②相遇后当点在上，在上，

则，

，

∴，

综上所述：或时，直线把的周长分成相等的两部分.