Question

如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD=AB，DM⊥DC交AB于点M，DF平分∠MDC交BC于点F，交MC于点E，连AE，以下说法：①BC-AD=AM；②∠ADM+∠AEM=45°；③若AD=3AM，则BF=

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AD．其中正确的是（　　）

A．只有①②

B．只有①③

C．只有②③

D．①②③

Answer 1

分析：首先根据正方形的性质得出∠ADM=∠CDG，进而得出△ADM≌△GDC，即可得出AM=GC，即可得出BC-AD=AM，再利用四点共圆的性质得出∠DAE=∠DME=45°，即可得出∠ADM+∠AEM=45°不能确定，再利用AD=3AM，利用未知数表示出BG，BM，AM进而利用垂直平分线的性质以及勾股定理得出BF的长即可．

解答：解；过点D作DG⊥BC于点G，
∵直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD=AB，
∴四边形ABGD是正方形，
∵DM⊥DC，∠ADG=90°，
∴∠ADM=∠CDG，
∵在△ADM和△GDC中

∠MAD=∠CGD AD=DG ∠ADM=∠CDG

，
∴△ADM≌△GDC（ASA），
∴AM=GC，DM=CD，
∴①BC-AD=AM正确；
∵DF平分∠MDC交BC于点F，DM=DC，
∴∠DEM=∠DEC=90°
∴∠DAM+∠MED=180°
A，M，E，D四点共圆，
∴∠ADM=∠AEM，
∴∠DAE+∠DME=45°，
但是∠DAE无法得到是45°，
∴∠ADM+∠AEM=45°不能确定，故此选项错误；
连接MF，若AD=3AM，∴GC=

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BG，
设AM=x，则AD=BG=3x，MB=2x，BC=4x，
∵由以上可得出，DF垂直平分MC，
∴FC=MF，
设MF=FC=y，
∴BM ²+BF ²=MF ²，
∴（2x） ²+（4x-y） ²=y ²，
解得：y=2.5x，
∴BF=1.5x，
∴BF=

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AD，故此选项正确；
故选：B．

点评：此题主要考查了勾股定理以及垂直平分线的性质和全等三角形的判定等知识，利用垂直平分线的性质得出MF=FC是解题关键．