Question

如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求△AEF面积最大为________．

Answer 1

6
分析：首先设BE=x，则AE=6-x，由在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，利用勾股定理即可求得BC的长，利用三角函数的定义即可求得cos∠B==，cos∠C==，继而可求得BP，CE的长，则由S_△AEF=AE•AF=（6-x）•x，利用二次函数的性质，即可求得△AEF面积最大值．
解答：设BE=x，则AE=6-x，
∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，
∴BC==10，
∴cos∠B==，cos∠C==，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴在Rt△BPE中，BP===x，
∴CP=BC-BP=10-x，
在Rt△CPF中，CF=CP•cos∠C=（10-x）=8-x，
∴AF=AC-CF=8-（8-x）=x，
∴S_△AEF=AE•AF=（6-x）•x=-（x²-6x）=-（x-3）²+6，
∴△AEF面积最大为6．
故答案为：6．
点评：此题考查了直角三角形的性质、勾股定理、三角函数的性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，解题的关键是掌握三角函数的定义及应用，掌握数形结合思想的应用．