Question

已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD²=AE•AC．求证：
（1）△BCD∽△CDE；
（2）．

Answer 1

证明：（1）∵AD²=AE•AC，
∴，
∵∠A是公共角，
∴△ADC∽△AED，
∴∠ACD=∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠BCD=∠CDE，
∴∠ECD=∠B，
∴△BCD∽△CDE；

（2）∵△BCD∽△CDE，
∴，
∴DE=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴．
分析：（1）由AD²=AE•AC，易证得△ADC∽△AED，即可得∠ACD=∠ADE，又由DE∥BC，易证得∠ECD=∠B，则可证得△BCD∽△CDE；
（2）由△BCD∽△CDE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，即可得，继而得到结论．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．