Question

如图，两个等圆圆O₁，O₂外切，O₁A、O₁B分别与圆O₂切于点A、B．设∠AO₁B=α，若A（sinα，0），B（cosα，0）为抛物线y=x²+bx+c与x轴的两个交点，则b=

 

，c=

 

．

Answer 1

分析：连接O₁O₂，O₂A，O₂B，根据切线的性质得到直角三角形，再由直角三角形中边的关系得到角的度数，确定A，B两点的坐标，用待定系数法可以求出b，c的值．

解答：解：如图：
连接O₁O₂，O₂A，O₂B，
∵O₁A，O₁B是⊙O₂的切线，∴O₁A⊥O₂A，O₁B⊥O₂B，
又因为两圆是等圆，所以O₁O₂=2O₂A，得∠AO₁O₂=30°
∴∠AO₁B=60°，即：α=60°，
∴A（

3

2

，0）B（

1

2

，0）．
把A，B两点的坐标代入抛物线得：

3 4 + 3 b 2 +c=0 1 4 + b 2 +c=0

，
解方程组得：

b=- 3 +1 2 c= 3 4

．
故答案为：-

3 +1

2

，

3

4

．

点评：本题考查的是解直角三角形，根据直线与圆相切，连接圆心和切点，得到直角三角形，再根据两圆是等圆得到∠α的度数，确定A，B两点的坐标，代入二次函数中求出b，c的值．