Question

设α、β是关于x的方程kx²+2（k-2）x+k+4=0的两个实数根，且α、β满足α²+β²-αβ=5，求k的值．

Answer 1

分析：根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形求则可．设x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
欲求k的值，先把α²+β²-αβ=5的左边变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值列出方程解即可．

解答：解：α、β是关于x的方程kx²+2（k-2）x+k+4=0的两个实数根，
α+β=-

2k-4

k

，αβ=

k+4

k

，
由α²+β²-αβ=5
（α+β）²-3αβ=5
(-

2k-4

k

)2-3×

k+4

k

=5，
解得k=

-7- 65

2

或k=

-7+ 65

2

，
经检验都是方程的根．
△=[2（k-2）]²-4k（k+4）＞0，
解得k的范围为k＜

1

2

．
∴k=

-7- 65

2

．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法，注意所求值的取舍．