Question

【题目】(1)如图，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；

(2)如图，AB∥CD，AB的下方两点E、F满足:BF平分∠ABE、DF平分∠CDE，若∠DFB=20°，∠CDE=70°，求∠ABE的度数；

(3)在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论:①∠DGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变，可以证明只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值.

Answer 1

【答案】（1）AB∥CD；（2）∠ABE=30°；（3）②∠MGN的度数为15°不变，证明见解析.

【解析】

（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）先由角平分线的定义可得：∠CDF＝∠CDE=35°，∠ABE=2∠ABF，然后根据两直线平行内错角相等，可得：∠2=∠CDF=35°，然后利用三角形外角的性质求出∠ABF的度数，进而可求∠ABE的度数；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠BPG+∠B，再根据平行线的性质以及角平分线的定义表示出∠MGP、∠DPQ，根据两直线平行，内错角相等可得∠NGP=∠GPQ，然后列式表示出∠MGN=∠B，从而判定②正确．

（1）结论：AB∥CD．
证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠CAB，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠CAB，
∴AB∥CD；
（2）解：如图2，

∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠CDF＝∠CDE=35°，∠ABE=2∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠2=∠CDF=35°，
∵∠2=∠DFB+∠ABF，∠DFB=20°，
∴∠ABF=15°，
∴∠ABE=2∠ABF=30°；
（3）解：②结论MGN的度数为15°不变．

如图3，根据三角形的外角性质，∠1=∠BPG+∠B，

∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，
∴∠GPQ=∠BPG，∠MGP=∠DGP，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DGP，
∴∠MGP=（∠BPG+∠B），
∵PQ∥GN，
∴∠NGP=∠GPQ=∠BPG，
∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=（∠BPG+∠B）-∠BPG=∠B，
根据前面的条件，∠B=30°，
∴∠MGN=×30°=15°，
∴①∠DGP-∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变．